Формулы вычисления площади произвольного четырёхугольника

Определение площади сложной фигуры с помощью теории вероятностей

Да мало ли зачем. Например, возникла необходимость определить площадь территории на карте.

Конечно, можно посмотреть в справочнике или поискать в интернете, но иногда и территории бывают нестандартными — допустим, вы озаботились проблемами лесов в пойме Амазонки и хотите ежемесячно измерять площадь зелёных пятен на фотографиях со спутника.

Если вы ботаник (в хорошем смысле слова), то вам может понадобиться измерить площадь листовой поверхности разных сортов одного растения. Или, к примеру, более прозаичная задача — нужно зашпатлевать кусок стены, а банки шпатлёвки хватает только на 1 кв. м. — нужно выяснить, покупать одну банку или раскошелиться на две.

В чём сложность нахождения площади?

Конечно, если фигура представляет собой прямоугольник, круг или, что хуже, эллипс, то проблема решается с помощью Google и калькулятора. Но где бы найти формулу, да попроще, для нахождения площади, скажем, такого рисунка?

Теория вероятностей, Ваш выход!

Сразу оговорюсь, что теория вероятностей по своей сути не подразумевает точного решения задач. Так будет и в этом случае — если вам нужна космическая точность, то предлагаю копать в сторону методов имитационного моделирования. Если же погрешность в пределах 2-5% вас вполне устраивает, то будет достаточно того же калькулятора, базовых навыков программирования и умения считать до ста.

Суть метода

Суть метода проста до банальности. Допустим, мы пасмурным деньком выложили капустный листочек (см. ремарку про биолога выше) на прямоугольный поддон, а поддон выставили под накрапывающий дождик.

А потом засекли определённое время (к примеру, пять минут) и посчитали, сколько капелек упало на поддон, а сколько непосредственно на лист.

Если принять во внимание, что дождь обычно капает равномерно, то получается простая пропорция — лист во столько раз меньше поддона, во сколько раз на него упало меньше капель дождя, чем на весь поддон

Возвращаемся к нашей фигуре

Итак, как же определить площадь той розовой пятерни? Да очень просто — заключить фигуру в прямоугольные границы и проставить случайным образом много точек. Чем больше, тем лучше (в соответствии с законом больших чисел). А потом подсчитать количество точек, попавших на фигуру.

Я намеренно не обсуждаю вопросы реализации такого алгоритма, потому что вариантов масса. Можно просто закрыть глаза и наугад тыкать шариковой ручкой, а можно действовать более научно — с помощью языков программирования.

Например, код на PHP занял у меня не больше 15 строчек, а в результате получилось вот что: Точки общим числом 300, разумеется, проставлены с помощью генератора случайных чисел.

Для удобства подсчета точек я разбил изображение на 36 секторов — теперь нужно подсчитать количество точек, попавших на изображение, в каждом секторе, а результаты сложить.

Сведём данные в таблицу (ячейка таблицы соответствует сектору на картинке):

4	8	4
7	5	6	4
3	6	13	7	8	5
1	10	10	13	7	2
2	3	7	10	2
2	5	3

Теперь у нас есть все данные для того, чтобы вычислить площадь розовой пятерни: площадь описанного прямоугольника — 20 см х 20 см = 400 кв. см; количество точек в прямоугольнике — 300; количество точек внутри фигуры (сумма значений из таблицы) — 157;

площадь фигуры – 209,33 кв. см.

И насколько это точно?

Действительно, осталось определиться с точностью данного метода. Конечно, всё зависит от количества точек, и здесь нужно соблюдать золотую середину — десяти для нашего примера было бы явно недостаточно, а от тысячи слишком рябило бы в глазах. Поэтому попробуем определить погрешность для трёхсот точек и описанного квадрата со стороной 20 см.

Для этого возьмём фигуру, площадь которой нам известна заранее.

Например, такую: Проставляем точки: Результаты заносим в таблицу:

6	11	8	5
9	15	8	5	13	2
11	8	5	14	13	5
10	11	8	8	4	4
2	14	9	10	4	1
3	5	6

Рассчитываем площадь фигуры: площадь описанного прямоугольника — 20 см х 20 см = 400 кв. см; количество точек в прямоугольнике — 300; количество точек внутри фигуры (сумма значений из таблицы) — 237;

площадь фигуры – 316 кв. см.

Нетрудно посчитать, что реальная площадь круга с радиусом 10 см составляет 314,16 кв. см. Таким образом, погрешность метода составила 0,59%, чего в большинстве случаев достаточно для прикладного использования.

• теория вероятностей
• площадь фигуры

Хабы:

Формула площади прямоугольника

Для того, чтобы найти площадь прямоугольника без формулы необходимо посчитать количество единичных квадратов, на которые разбита фигура.

Рис. 1. Прямоугольник, разбитый на единичные квадраты

Прямоугольник разбит на 15 квадратов, то есть его площадь равна 15 см2

Стоит обратить внимание, что в ширину фигура занимает 3 квадрата, а в длину 5, потому чтобы вычислить количество единичных квадратов, необходимо умножить длину на ширину. Меньшая сторона четырехугольника – ширина, большая длина

Таким образом, можно вывести формулу площади прямоугольника:

S = a · b, где a,b – ширина и длина фигуры.

К примеру, если длина прямоугольника 5 см, а ширина 4 см, то площадь будет равна 4*5=20 см2.

Определения и соглашения

В приведённой ниже таблице будут указаны определения и договорённости, которые будут использоваться в дальнейшем во время наших рассуждений.

1. Четырёхугольник — это фигура из четырёх точек (вершин), из которых любые три не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон) последовательно их соединяющих.
2. Диагональ — отрезок, соединяющий вершины многоугольника не лежащие на одной стороне (её обозначение – латинская буква d).
3. Площадь фигуры — это численное значение территории, заключённой внутри многоугольника (её обозначение – латинская буква S).
4. Синус угла — это число равное отношению противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. (её обозначение – запись sin).
5. Косинус угла — это число равное отношению прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В дальнейшем в статье для его обозначения будем использовать латинскую запись cos.
6. Описанная окружность — это окружность, которой принадлежат все вершины многоугольника ( её радиуса обозается буквой R).
7. Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. В дальнейшем в статье для обозначения её радиуса будем использовать латинскую букву r.
8. Угол между сторонами a и b будем обозначать следующей записью (a,b).

Формулы для площадей четырехугольников

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
		S = ab	a и b – смежные стороны
		d – диагональ,φ – любой из четырёх углов между
	S = 2R2 sin φ Получается из верхней формулы подстановкой d=2R	R – радиус ,φ – любой из четырёх углов между
		S = a ha	a – сторона,ha – , опущенная на эту сторону
	S = absin φ	a и b – смежные стороны,φ – угол между ними
		d1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними
		S = a2	a – сторона квадрата
	S = 4r2	r – радиус
		d – квадрата
	S = 2R2 Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R	R – радиус
		S = a ha	a – сторона,ha – , опущенная на эту сторону
	S = a2 sin φ	a – сторона,φ – любой из четырёх углов ромба
		d1, d2 –
	S = 2ar	a – сторона,r – радиус
		r – радиус ,φ – любой из четырёх углов ромба
			a и b – основания,h –
	S = m h	m – ,h –
		d1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними
		a и b – основания,c и d  – боковые стороны
		S = ab sin φ	a и b – неравные стороны,φ – угол между ними
		a и b – неравные стороны,φ1 – угол между сторонами, равными a ,φ2 – угол между сторонами, равными b.
	S = (a + b) r	a и b – неравные стороны,r – радиус
		d1, d2 –
Произвольный выпуклый четырёхугольник			d1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними
		,	a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,p – , Формулу называют «Формула Брахмагупты»

	S = ab гдеa и b – смежные стороны
	гдеd – диагональ,φ – любой из четырёх углов между
	S = 2R2 sin φ гдеR – радиус ,φ – любой из четырёх углов между Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
	S = a ha гдеa – сторона,ha – , опущенная на эту сторону
	S = absin φ гдеa и b – смежные стороны,φ – угол между ними
	гдеd1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними
	S = a2 гдеa – сторона квадрата
	S = 4r2 гдеr – радиус
	гдеd – квадрата
	S = 2R2 гдеR – радиус Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
	S = a ha гдеa – сторона,ha – , опущенная на эту сторону
	S = a2 sin φ гдеa – сторона,φ – любой из четырёх углов ромба
	гдеd1, d2 –
	S = 2ar гдеa – сторона,r – радиус
	гдеr – радиус ,φ – любой из четырёх углов ромба
	гдеa и b – основания,h –
	S = m h гдеm – ,h –
	гдеd1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними
	гдеa и b – основания,c и d  – боковые стороны
	S = ab sin φ гдеa и b – неравные стороны,φ – угол между ними
	гдеa и b – неравные стороны,φ1 – угол между сторонами, равными a ,φ2 – угол между сторонами, равными b.
	S = (a + b) r гдеa и b – неравные стороны,r – радиус
	гдеd1, d2 –
Произвольный выпуклый четырёхугольник
	гдеd1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними
	, гдеa, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,p – Формулу называют «Формула Брахмагупты»

S = ab гдеa и b – смежные стороны

гдеd – диагональ,φ – любой из четырёх углов между

S = 2R2 sin φ гдеR – радиус ,φ – любой из четырёх углов между Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

S = a ha гдеa – сторона,ha – , опущенная на эту сторону

S = absin φ гдеa и b – смежные стороны,φ – угол между ними

гдеd1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними

S = a2 гдеa – сторона квадрата

S = 4r2 гдеr – радиус

гдеd – квадрата

S = 2R2 гдеR – радиус Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

S = a ha гдеa – сторона,ha – , опущенная на эту сторону

S = a2 sin φ гдеa – сторона,φ – любой из четырёх углов ромба

гдеd1, d2 –

S = 2ar гдеa – сторона,r – радиус

гдеr – радиус ,φ – любой из четырёх углов ромба

гдеa и b – основания,h –

S = m h гдеm – ,h –

гдеd1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними

гдеa и b – основания,c и d  – боковые стороны,

S = ab sin φ гдеa и b – неравные стороны,φ – угол между ними

гдеa и b – неравные стороны,φ1 – угол между сторонами, равными a ,φ2 – угол между сторонами, равными b.

S = (a + b) r гдеa и b – неравные стороны,r – радиус

гдеd1, d2 –

Произвольный выпуклый четырёхугольник

гдеd1, d2 – , φ – любой из четырёх углов между ними

гдеa, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,p – Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Примеры решения

Задачи на нахождение площади применяются в нескольких дисциплинах. В геометрии применяются различные комбинации, при которых известны некоторые величины:

1. Две стороны.
2. Одна из сторон и диагональ.
3. Диагональ и разность сторон.

Для расчета расходных материалов и площади поперечного сечения проводника можно всегда измерить стороны прямоугольника. Существует два способа нахождения: автоматизированный и ручной. В первом случае используется специализированное программное обеспечение. Однако вовсе не обязательно применять сложные алгоритмы и программные модули, поскольку формула является очень простой. Для расчета специалисты рекомендуют применять онлайн-калькулятор.

При ручном режиме расчета нужно подставлять значения в формулу. После этого выполнять вычисления. Возможна и оптимизация процесса вычисления. Для этой цели рекомендуется использовать Excel. Приложение входит в состав стандартного офисного пакета MS Office.

Геометрия на плоскости

Задача сводится к тому, что необходимо высчитать S, зная размеры сторон (a = 25 и b = 10). В этом случае следует воспользоваться базовой формулой: S = a * b = 25 * 10 = 250 (ед 2 ). В ответе указывается условная единица измерения, поскольку явная не указана в условии задачи.

Еще один вариант задания немного сложнее предыдущего. Он имеет следующее условие: одна из сторон прямоугольника равна 6 м и диагональ 10 м. Нужно найти площадь прямоугольника. Формулой в этом случае является теорема Пифагора. Треугольник, который образуется при проведении диагонали, считается прямоугольный (неравносторонний, а разносторонний). Решается задача следующим образом:

Находится неизвестная сторона: b =(d 2 — a 2 )^(1/2) = (100 — 36)^(1/2) = 8 (м).

Площадь (произведение сторон): S = 6 * 8 = 48 (м 2 ).

Можно использовать двойную формулу Герона, однако метод усложняет вычисления. Для сравнения скорости и объема вычислений следует решить задачу вторым способом:

Значение площади будет вычисляться таким образом: S = 2 * ^(1/2) = 2 * 24 = 48 (м 2 ).

Второй способ считается неправильным, поскольку необходимо во всех задачах оптимизировать вычисления. Сложным типом задачи, кроме интегрирования, считается нахождение площади, когда неизвестны стороны, а известна только диагональ (10). Известно также, что одна из сторон больше другой на 3 метра. В этом случае надо выражать одну сторону через другую. Алгоритм решения следующий:

1. Обозначить стороны: a = x и b = x — 3.
2. Составить уравнение: x * (x — 3) = 10.

Раскрыть скобки: x 2 — 3x — 10 = 0.

Нахождение дискриминанта: D = b 2 — 4* a * c = 9 — (4 * 10) 2 ). Однако берется не исходное значение, а приближенное. Его нужно округлять только в большую сторону, т. е. править 3,75 на значение 4. Следует руководствоваться таким правилом: результат округляется в большую сторону.

Источник

Способ 3. Формула Пика

Существует довольно удобная формула, которая использует клеточки для вычисления площади. А то, что мы только что проделали, – очень полезное упражнение, которое поможет эту формулу понять.

Назовём «узлами» точки пересечения линий сетки нашей клетчатой бумаги.

Теперь вместо клеточек или их частей подсчитаем, сколько узлов попадает в нашу фигуру. Причём, отдельно посчитаем те узлы, которые попадают внутрь нашей фигуры, и отдельно – те, которые лежат на границе.

Сколько насчитали?

У меня получилось \( Г = 22\) на границе и \( В = 32\) внутри.

Ну а теперь сама формула:

Называется она формулой Пика, поскольку доказал её математик Георг Пик 120 лет назад (да, она не специально для ЕГЭ была придумана, но очень нам помогает)

Формулы площади выпуклого четырехугольника

1. Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:

   S =	1	d1 d2 sin α
   2

   где S – площадь четырехугольника,d₁, d₂ – длины диагоналей четырехугольника,α – угол между диагоналями четырехугольника.

2. Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности)Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружностиS = p · r

3. Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных угловS = √(p – a)(p – b)(p – c)(p – d) – abcd cos2θ где S – площадь четырехугольника,

   a, b, c, d – длины сторон четырехугольника,

   p = <mfrac><mn>a + b + c + d</mn><mn>2</mn></mfrac>  – полупериметр четырехугольника,

   θ = <mfrac><mn>α + β</mn><mn>2</mn></mfrac>  – полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

4. Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружностьS = √(p – a)(p – b)(p – c)(p – d)

Площадь комнаты в квадратных метрах

Посчитать несложно, требуется только вспомнить простейшие формулы а также провести измерения. Для этого нужны будут:

• Рулетка. Лучше — с фиксатором, но подойдет и обычная.
• Бумага и карандаш или ручка.
• Калькулятор (или считайте в столбик или в уме).

Набор инструментов нехитрый, найдется в каждом хозяйстве. Проще измерения проводить с помощником, но можно справиться и самостоятельно.

Для начала надо измерить длину стен. Делать это желательно вдоль стен, но если все они заставлены тяжелой мебелью, можно проводить измерения и посередине. Только в этом случае следите чтобы лента рулетки лежала вдоль стен, а не наискосок — погрешность измерений будет меньше.

Прямоугольная комната

Если помещение правильной формы, без выступающих частей, вычислить площадь комнаты просто. Измеряете длину и ширину, записываете на бумажке. Цифры пишите в метрах, после запятой ставите сантиметры. Например, длина 4,35 м (430 см), ширина 3,25 м (325 см).

Как высчитать площадь комнаты

Найденные цифры перемножаем, получаем площадь комнаты в квадратных метрах. Если обратимся к нашему примеру, то получится следующее: 4,35 м * 3,25 м = 14,1375 кв. м. В данной величине оставляют обычно две цифры после запятой, значит округляем. Итого, рассчитанная квадратура комнаты 14,14 квадратных метров.

Помещение неправильной формы

Если надо высчитать площадь комнаты неправильной формы, ее разбивают на простые фигуры — квадраты, прямоугольники, треугольники. Потом измеряют все нужные размеры, производят расчеты по известным формулам (есть в таблице чуть ниже).

Перед тем как посчитать площадь комнаты, тоже проводим изменения. Только в этом случае цифр будет не две, а четыре: добавится еще длина и ширина выступа. Габариты обоих кусков считаются отдельно.

Один из примеров — на фото. Так как и то, и другое — прямоугольник, площадь считается по той же формуле: длину умножаем на ширину. Найденную цифру надо отнять или прибавить к размеру помещения — в зависимости от конфигурации.

Площадь комнаты сложной формы

Покажем на этом примере как посчитать площадь комнаты с выступом (изображена на фото выше):

1. Считаем квадратуру без выступа: 3,6 м * 8,5 м = 30,6 кв. м.
2. Считаем габариты выступающей части: 3,25 м * 0,8 м = 2,6 кв. м.
3. Складываем две величины: 30,6 кв. м. + 2,6 кв. м. = 33,2 кв. м.

Еще бывают помещения со скошенными стенами. В этом случае разбиваем ее так, чтобы получились прямоугольники и треугольник (как на рисунке ниже). Как видите, для данного случая требуется иметь пять размеров. Разбить можно было по-другому, поставив вертикальную, а не горизонтальную черту

Это не важно. Просто требуется набор простых фигур, а способ их выделения произвольный

Как посчитать площадь комнаты неправильной формы

В этом случае порядок вычислений такой:

1. Считаем большую прямоугольную часть: 6,4 м * 1,4 м = 8,96 кв. м. Если округлить, получим 9, 0 кв.м.
2. Высчитываем малый прямоугольник: 2,7 м * 1,9 м = 5,13 кв. м. Округляем, получаем 5,1 кв. м.
3. Считаем площадь треугольника. Так как он с прямым углом, то равен половине площади прямоугольника с такими же размерами. (1,3 м * 1,9 м) / 2 = 1,235 кв. м. После округления получаем 1,2 кв. м.
4. Теперь все складываем чтобы найти общую площадь комнаты: 9,0 + 5,1 + 1,2 = 15,3 кв. м.

Планировка помещений может быть очень разнообразной, но общий принцип вы поняли: делим на простые фигуры, измеряем все требуемые размеры, высчитываем квадратуру каждого фрагмента, потом все складываем.

Советуем изучить — Какие бывают виды красок для наружных и внутренних работ

Формулы расчета площади и периметра простых геометрических фигур

Еще одно важное замечание: площадь комнаты, пола и потолка — это все одинаковые величины. Отличия могут быть если есть какие-то полу-колоны, не доходящие до потолка. Тогда из общей квадратуры вычитается квадратура этих элементов

В результате получаем площадь пола

Тогда из общей квадратуры вычитается квадратура этих элементов. В результате получаем площадь пола.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться . У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

• У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
• Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
• Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

• Начните с нашего гида о том как подготовиться к ЕГЭ по математике.
• Посетите наши бесплатные вебинары по математике, информатике и физике.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

• Подготовка к ЕГЭ по математике
• Подготовка к ЕГЭ по информатике
• Подготовка к ЕГЭ по физике

Способ 2. Дострой до прямоугольника и вычти лишнее

Очень удобен для сложных фигур, но и для простых неплох

• Достроить искомую фигуру до прямоугольника;
• Найти площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника;
• Из площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.

Давай посчитаем площадь того же треугольника вторым способом.

Нужно окружить нашу фигуру прямоугольником. Вот так:

Получился один (нужный) треугольник внутри и целых три ненужных треугольника снаружи. Но зато площади этих ненужных треугольников легко считаются на листе в клетку!

Вот мы их посчитаем, а потом просто вычтем из целого прямоугольника:

Какие их виды существуют?

Многоугольник, у которого больше четырех углов, может быть выпуклым или вогнутым. Отличие последнего в том, что некоторые его вершины могут лежать по разные стороны от прямой, проведенной через произвольную сторону многоугольника. В выпуклом всегда все вершины лежат с одной стороны от такой прямой.

В школьном курсе геометрии большая часть времени уделяется именно выпуклым фигурам. Поэтому в задачах требуется узнать площадь выпуклого многоугольника. Тогда существует формула через радиус описанной окружности, которая позволяет найти искомую величину для любой фигуры. В других случаях однозначного решения не существует. Для треугольника формула одна, а для квадрата или трапеции совершенно другие. В ситуациях, когда фигура неправильная или вершин очень много, принято разделять их на простые и знакомые.

Методика выполнения работы

Перед тем, как рассчитать квадратуру дома, нужно подготовить следующее:

1. Калькулятор для проведения вычислений. 
2. Рулетка для проведения измерений. При этом надо учитывать, что некоторые производят измерения в дюймах – они не подойдут. Нужна рулетка, которая указывает длину с помощью сантиметров. 
3. Потребуется план квартиры. Измерение площади стен, пола и потолка будет выполняться на его основе. Если такую схему найти нельзя, то её нужно нарисовать от руки, стремясь реалистично отобразить размеры и геометрическую форму частей. 
4. Также потребуется бумага и карандаш для ведения записей в процессе работы. 

При замерах полов, стен и потолков в первую очередь потребуются знания из школьной геометрии. Простейшим способом, как рассчитать площадь дома в квадратных метрах, является вычисление прямоугольных поверхностей. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон. 

Вычисление площади простейших геометрических фигур основано на базовых формулах из геометрииИсточник stroychik.ru

При этом важно учитывать следующее.

Хотя на вид комната состоит из прямоугольных деталей, на самом деле это может оказаться немного по-другому. Например, ширина стен, измеренная с одной и другой стороны, может отличаться на несколько сантиметров. Эта проблема особенно существенна при измерении расстояний в домах старой постройки. В таких случаях обычно измеряют длину в нескольких местах, а при вычислении площади используют среднее значение. 
Вычисления позволяют получить нужные цифры с высокой точностью

Однако будет разумной предосторожностью при вычислениях добавить к площади небольшую величину. Это позволит исключить ситуацию, в которой стройматериалов чуть-чуть не хватило. 

Таким способом можно вычислить площадь прямоугольных пустых стен, пола и потолка.
 

Сложная форма стен и потолка может быть разделена на простые фигуры для упрощения вычисленийИсточник www.buvbaze.lv

Расчёт площади стен с окнами и дверьми

Если на стене есть окно или дверь, то вычисление производится следующим образом:

• Определяется площадь стены без учёта двери или окна. 
• Вычисляется площадь каждого окна или двери путём умножения их длины на ширину. 
• Из площади стены вычитают площадь окон и дверей. 

Этот способ применим в тех случаях, когда рассматриваются прямоугольные стены.

Площадь стены, имеющей неправильную форму

В этом случае нужно разделить вычисления на этапы. Стена с нишами может иметь сложную форму. Однако её всегда можно условно разбить на несколько участков, каждый из которых соответствует одной из простых форм. Затем надо рассчитать площади каждой из частей и сложить их. 

Как посчитать площадь стен, рассказано в видео

Расчёт через периметр

Если комната имеет неправильную форму, то площадь стен можно вычислить, измерив длину периметра. В этом случае проводят измерение горизонтальных отрезков по каждой из сторон помещения и складывают их вместе, затем определяют высоту. Произведение этих величин равно площади стен в этом помещении. 

Несколько советов

• Нужно при проведении расчётов все цифры наносить на план. Таким образом сохранится не только результат, но и промежуточные вычисления, которые могут пригодится при проведении ремонтных работ в будущем. 
• При вычислении площади нужно учитывать, что не всегда необходима полная величина. Например, обои могут клеить не только на всю стену, а на их часть. Класть плитку могут до потолка либо только до определённой высоты. Поэтому нужно точно определить, как высчитать квадратуру дома с учётом конкретного плана ремонта. 

Как сделать замеры – можно посмотреть в видеоролике:

Для того, чтобы точно знать, сколько необходимо стройматериалов для проведения работ, нужно учитывать площади стен, пола и потолка, а также нормы расхода стройматериалов. Среднюю величину расхода можно узнать, спросив у продавцов, а квадратуру дома необходимо измерить самостоятельно. Для этого нужно воспользоваться знаниями из элементарной геометрии. При вычислении площади сложных фигурных поверхностей их разбивают на простые части, делают необходимые вычисления, затем суммируют их. 

Калькулятор расчета площади земельного участка неправильной формы

Инструкция для калькулятора расчета площади неправильного земельного участка

Данный онлайн калькулятор помогает произвести расчет, определение и вычисление площади земельного участка в онлайн режиме. Представленная программа способна правильно подсказать, как выполнить расчет площади земельных участков неправильной формы.

Указываем все данные в метрах

A B, D A, C D, B C— Размер каждой стороны делянки.

Согласно введен данным, наша программа в онлайн режиме выполнить расчет и определить, площадь земельных угодий в квадратных метрах, сотках, акрах и гектарах.

Методика определения размеров участка ручным методом

Чтобы правильно выполнить расчет площади делянок, не нужно использовать сложные инструменты. Мы берем деревянные колышки или металлические прутья и устанавливаем их в углах нашего участка. Далее при помощи измерительной рулетки определяем ширину и длину делянки. Как правило, достаточно выполнить замер одной ширины и одной длины, для прямоугольных или равносторонних участков. Для примера, у нас получились следующие данные: ширина – 20 метров и длина – 40 метров.

Далее переходим к расчету площади делянки. При правильной форме участка, можно использовать геометрическую формулу определения площади (S) прямоугольника. Согласно этой формуле, нужно выполнить умножение ширины (20) на длину (40) , то есть произведение длин двух сторон. В нашем случае S=800 м².

После того, как мы определили нашу площадь, мы можем определить количество соток на земельном участке. Согласно общепринятым данным, в одной сотке – 100 м². Далее при помощи простой арифметики, мы разделим наш параметр S на 100. Готовый результат и станет равен размеру делянки в сотках. Для нашего примера, этот результат – 8. Таким образом, получаем, что площадь участка составляет восемь соток.

В том случае, когда территория угодий очень большая, то лучше всего выполнять все измерения в других единицах – в гектарах. Согласно общепринятым единицам измерения – 1 Га = 100 соток. К примеру, если наша земельная делянка согласно полученным измерениям составляем 10 000 м², то в этом случае его площадь равна 1 гектару или 100 соткам.

Если Ваш участок неправильной формы, то в этом случае количество соток напрямую зависит от площади. Именно по этой причине при помощи онлайн калькулятора Вы сможете правильно рассчитать параметр S делянки, и после этого разделив полученный результат на 100. Таким образом, Вы получите расчеты в сотках. Такой метод предоставляет возможность измерять делянки сложных форм, что весьма удобно.

Общие данные

Расчет площади земельных участков базируется на классических расчетах, которые выполняются согласно общепринятым геодезическим формулам.

Всего доступно несколько методов для расчета площади земельных угодий – механический (рассчитывается по плану при помощи мерных палеток), графический (определяется по проекту) и аналитический (при помощи формулы площади по измеренным линиям границ).

На сегодняшний день самым точным способом заслуженно считается – аналитический. Используя данный метод, ошибки при расчетах, как правило, появляются из-за погрешностей на местности измеренных линий. Данный способ является также и достаточно сложным, если границы криволинейные или количество углом на делянке больше десяти.

Немного проще по расчетам является графическим способ. Его лучше всего использовать в том случае, когда границы участка представлены в виде ломанной линии, с небольшим количеством поворотов.

И самый доступный и простой способ, и наиболее популярный, но и в тоже время самой большой погрешностью – механический способ. Используя данный метод, Вы сможете легко и быстро выполнить расчет площади земельных угодий простой или сложной формы.

Среди серьезных недостатков механического или графического способа, выделяют следующее, кроме погрешностей при измерении участка, при расчетах добавляется погрешность из-за деформации бумаги или погрешность при составлении планов.

Источник

Вывод формул для площадей четырехугольников

      Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

где  d₁ и d₂ – , а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Рис. 1

      Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь можно найти по формуле

S = a h_a ,

где a – сторона параллелограмма, а h_a – , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Рис. 2

      Доказательство. Поскольку (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

S_ABCD = S_AEFD = a h_a ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3.Площадь можно найти по формуле

S = ab sin φ,

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Рис. 3

      Доказательство. Поскольку

h_a = b sin φ,

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

S = a h_a = ab sin φ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь можно найти по формуле

,

где r – радиус , а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Рис. 4

      Доказательство. Поскольку каждая из ромба является биссектрисой угла, а . Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h  –  (рис.5).

Рис. 5

      Доказательство. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку , то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь можно найти по формуле

,

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции, (рис.6).

Рис. 6

      Доказательство. Воспользовавшись , составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

      Следовательно,

где

,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 7. Площадь , , можно найти по формуле:

S = (a + b) r,

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус (рис.7).

Рис. 7

      Доказательство. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

      Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

что и требовалось доказать.